Análisis Matemático I

Matemática

ISI-101 • Nivel 1

Créditos

5

Horas Estimadas

36h

Temas

13

Temario

1

Números reales y topología

Propiedades de los números reales, conjuntos numéricos, topología de la recta real

2h 0min

2

Sucesiones y series numéricas

Convergencia de sucesiones, criterios, series numéricas

3h 0min

3

Funciones de una variable

Definición, dominio, rango, composición, inversa, funciones elementales

2h 0min

4

Continuidad de funciones

Definición, discontinuidad, teorema del valor intermedio

2h 20min

5

Límites funcionales e indeterminaciones

Límites laterales, indeterminaciones, L'Hôpital

3h 0min

6

Derivada y diferencial: definición y reglas de cálculo

Definición, reglas de derivación, cadena, derivadas elementales

3h 20min

7

Teoremas del valor medio (Rolle, Lagrange, Cauchy)

Enunciado, demostración, aplicaciones

3h 40min

8

Análisis de variación de funciones

Monotonía, máximos y mínimos, convexidad, asíntotas

3h 20min

9

Desarrollo de Taylor y series de potencias

Polinomio de Taylor, remainder, radio de convergencia

3h 20min

10

Integral indefinida: técnicas de integración

Primitivas, sustitución, partes, fracciones parciales, trigonométricas

3h 20min

11

Integral definida y teorema fundamental

Riemann, teorema fundamental, áreas, volúmenes

3h 0min

12

Integrales impropias

Integrales con infinitos, convergencia, criterios

2h 20min

13

Integración numérica

Trapecio, Simpson, cuadratura gaussiana, error

2h 20min

Metodología

Teoría

Clase teórica magistral donde el profesor explica conceptos, demuestra teoremas y resuelve ejercicios modelo en el pizarrón.

Práctica

Clase práctica con ejercicios progresivos de dificultad creciente, donde los estudiantes resuelven problemas guiados por el docente.

Actividades

  • Resolución de ejercicios en clase
  • Trabajos Prácticos (TP) individuales y grupales
  • Guías de ejercicios para resolver en casa
  • Consultas y tutorías obligatorias
  • Simulacros de examen parcial

Evaluación

Regularidad

Aprobar como mínimo 2 parciales con nota >= 4. Asistencia regular obligatoria (80% mínimo). Aprobar los Trabajos Prácticos asignados.

Promoción

Examen final escrito u oral. Para presentarse se requiere regularidad (2 parciales aprobados). La nota del final reemplaza o complementa la cursada.

Recuperatorio

Recuperatorio oportunidad 1: primer semestre del año siguiente. Oportunidad 2: según reglamento de la facultad.

Objetivos de Aprendizaje

  • Dominar las técnicas de cálculo diferencial e integral de funciones de una variable.
  • Aplicar los teoremas del valor medio para resolver problemas de optimización.
  • Resolver integrales definidas e impropias utilizando métodos analíticos y numéricos.
  • Desarrollar el polinomio de Taylor y analizar series de potencias.
  • Formular modelos matemáticos de problemas del mundo real usando cálculo.

Competencias

  • Calcular derivadas e integrales de funciones elementales y compuestas.
  • Resolver problemas de optimización aplicando teoremas del valor medio.
  • Analizar la convergencia de series numéricas y de potencias.
  • Aplicar integración numérica para aproximar áreas y volúmenes.
  • Interpretar resultados matemáticos en contexto de ingeniería.

Ejercicios Tipo Parcial

Límites y derivadas

4/5

Calcular el límite: lim(x→0) (sin(3x) - 3x + x³) / x⁵

Solución: Aplicar la serie de Taylor de sin(3x) = 3x - (3x)³/6 + (3x)⁵/120 - ... Sustituyendo y simplificando los términos se obtiene el valor del límite.

Integración

3/5

Calcular: ∫₀¹ x²·eˣ dx

Solución: Integración por partes dos veces: resultado e - 2 ≈ 0.718.

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