Análisis Matemático I

Matemática

ISI-101 • Nivel 1

Formar al estudiante en el cálculo diferencial e integral de funciones de una variable. Provee las herramientas matemáticas básicas para plantear modelos matemáticos que describan problemas del mundo real.

Conceptos clave

Derivación e integraciónLímites y continuidadTeoremas del valor medioTaylor y seriesOptimización de funciones

Créditos

5

Horas Estimadas

36h

Temas

13

Temario

1

Números reales y topología

Propiedades de los números reales, conjuntos numéricos, topología de la recta real

2h 0min

2

Sucesiones y series numéricas

Convergencia de sucesiones, criterios, series numéricas

3h 0min

3

Funciones de una variable

Definición, dominio, rango, composición, inversa, funciones elementales

2h 0min

4

Continuidad de funciones

Definición, discontinuidad, teorema del valor intermedio

2h 20min

5

Límites funcionales e indeterminaciones

Límites laterales, indeterminaciones, L'Hôpital

3h 0min

6

Derivada y diferencial: definición y reglas de cálculo

Definición, reglas de derivación, cadena, derivadas elementales

3h 20min

7

Teoremas del valor medio (Rolle, Lagrange, Cauchy)

Enunciado, demostración, aplicaciones

3h 40min

8

Análisis de variación de funciones

Monotonía, máximos y mínimos, convexidad, asíntotas

3h 20min

9

Desarrollo de Taylor y series de potencias

Polinomio de Taylor, remainder, radio de convergencia

3h 20min

10

Integral indefinida: técnicas de integración

Primitivas, sustitución, partes, fracciones parciales, trigonométricas

3h 20min

11

Integral definida y teorema fundamental

Riemann, teorema fundamental, áreas, volúmenes

3h 0min

12

Integrales impropias

Integrales con infinitos, convergencia, criterios

2h 20min

13

Integración numérica

Trapecio, Simpson, cuadratura gaussiana, error

2h 20min

Objetivos

  • Dominar las técnicas de cálculo diferencial e integral de funciones de una variable.
  • Aplicar los teoremas del valor medio para resolver problemas de optimización.
  • Resolver integrales definidas e impropias utilizando métodos analíticos y numéricos.
  • Desarrollar el polinomio de Taylor y analizar series de potencias.
  • Formular modelos matemáticos de problemas del mundo real usando cálculo.

Competencias

  • Calcular derivadas e integrales de funciones elementales y compuestas.
  • Resolver problemas de optimización aplicando teoremas del valor medio.
  • Analizar la convergencia de series numéricas y de potencias.
  • Aplicar integración numérica para aproximar áreas y volúmenes.
  • Interpretar resultados matemáticos en contexto de ingeniería.

Metodología de cursada

Teoría

Clase teórica magistral donde el profesor explica conceptos, demuestra teoremas y resuelve ejercicios modelo en el pizarrón.

Práctica

Clase práctica con ejercicios progresivos de dificultad creciente, donde los estudiantes resuelven problemas guiados por el docente.

Actividades

  • Resolución de ejercicios en clase
  • Trabajos Prácticos (TP) individuales y grupales
  • Guías de ejercicios para resolver en casa
  • Consultas y tutorías obligatorias
  • Simulacros de examen parcial

Forma de evaluación

Regularidad

Aprobar como mínimo 2 parciales con nota >= 4. Asistencia regular obligatoria (80% mínimo). Aprobar los Trabajos Prácticos asignados.

Promoción

Examen final escrito u oral. Para presentarse se requiere regularidad (2 parciales aprobados). La nota del final reemplaza o complementa la cursada.

Recuperatorio

Recuperatorio oportunidad 1: primer semestre del año siguiente. Oportunidad 2: según reglamento de la facultad.

Criterios

  • 2 Parciales (cada uno 40% de la nota de cursada)
  • Trabajos Prácticos (20% de la nota de cursada)
  • Examen final escrito (100% de la nota final)

Bibliografía

Oficial

  • •Stewart, J. Cálculo de una Variable: Trascendentes Tempranas. 8ª edición. Pearson.
  • •Anton, H. Cálculo con Geometría Analítica. 2ª edición. McGraw-Hill.
  • •Larsen, R. Análisis Matemático. McGraw-Hill.

Complementaria

  • •Bárcena, S. Guía de Ejercicios de Análisis Matemático I. EUA-UTN.
  • •Leithold, L. El Cálculo con Geometría Analítica. Harla.
  • •Spivak, M. Cálculo. Gedisa.

Ejercicios tipo parcial

Preguntas oficiales con resolución para practicar antes del examen.

Límites y derivadas

Pregunta: Calcular el límite: lim(x→0) (sin(3x) - 3x + x³) / x⁵

Solución: Aplicar la serie de Taylor de sin(3x) = 3x - (3x)³/6 + (3x)⁵/120 - ... Sustituyendo y simplificando los términos se obtiene el valor del límite.

Integración

Pregunta: Calcular: ∫₀¹ x²·eˣ dx

Solución: Integración por partes dos veces: resultado e - 2 ≈ 0.718.

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